ときわ台学/ベクトル解析/位置ベクトルの微分公式
注意 : ただし、微分対象となる関数が行列やベクトルを使った典型的な形（1次形式、2次形式、内積. １行目に、上で計算しておいた要素を代入• テンソル表記で微分を計算すると、合成関数微分の公式通りの計算をすれば良いだけであり、混乱は生じません。
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注意 : ただし、微分対象となる関数が行列やベクトルを使った典型的な形（1次形式、2次形式、内積. １行目に、上で計算しておいた要素を代入• テンソル表記で微分を計算すると、合成関数微分の公式通りの計算をすれば良いだけであり、混乱は生じません。
13和の微分公式• 準備 以下では• 4 のように表わすこともできます． ところで，旧い座標系 x,y,z で表わされるベクトル Ａを新しい座標系 x',y',z' 上で Ａ'として表現するとしますと， eq. ．近似法 ［１］ 物理学で頻繁に出てくる位置ベクトルの関係した近似法についてまとめておきます。
もっと、わかりやすく例えると、山に等高線を引いて、そこに水滴を垂らすと、水滴は等高線に沿って、垂直に流れていくというイメージである。
最後の変形は、最終結果がベクトルと行列の積で表せるように転置をとっています。 １つ目の等式はベクトルの等式• f r ＝ f x,y,z ＝ 1 ＝ 1 x 2＋y 2＋z 2 r とします。 どちらの定義を選んでも、そこから導かれる各種公式が行列積の順序を意識したり、転置が入ったりして面倒。
10今回の記事はそういう人のためのものであるから甘々で構わないのだ. ここでは で偏微分した場合を書いているが , などの座標変数で偏微分しても同じことが言える. 13 これは便宜的に以下のように考えるとよい。
よって、 となります。
ニューラルネットの合成関数微分に関しては、合っていないと感じるということです。
計算のルールも記号の定義も勉強の仕方も全く分からないまま ,長い時間をかけて何となく経験的にやり方を覚えて行くという効率の悪いことをしていたので ,このように順番に説明を聞いた後で全く初めて公式の一覧を見た時に読者がどう感じるかというのが分からないのである. ベクトルをベクトルで微分 １と２を組合せてみましょう。
行列Aを とすれば、 となりますから、 です。
・ ベクトル関数 の微分は成分となる各関数を微分してあげればいい。 10 スカラーを行列で微分 スカラーを の行列で微分すると、同じ次元・次数の行列になる。 しかし自分はそういうことはやらなかったし ,自力で出来るとも思えなかったし ,このようにして導いた結果が今後必要になるという見通しもなかったのである. 2次形式の微分 次に2次形式 の微分を考えます。
20が、これ以上は立ち入りません。
和記号と添字の多さについては、ダミー添字と縮約の概念を知っておくと惑わされなくなります。
問題設定 冒頭に挙げた本の題材は、リカレントニューラルネットワークの Backpropagation through time BPTT の計算です。 16 これは以下のように確認できる。 ただし常微分ではなく偏微分で表される必要があるからわざわざ書いておこう. 11 なる数学的関係が得られます．最後の置き換えは積分の定義そのものです．これを ガウスの定理といい，体積積分を面積分に次元を落とす定理です．ここに， ｎは面Ｓに垂直な外向き法線（単位）ベクトルです． この定理に従えば， eq. そのしわ寄せが 接続 に押し込まれている、と考えたらそりゃそうか。
113行目から4行目はクロネッカーのデルタと縮約和が組み合わさったときの変形です。
関連：、. 偏微分でさえも分かった気がしないという感覚のままでナブラと向き合って見よう見まねで計算を進めているときの不安感というのは ,今思えば本当に馬鹿らしいものだった. 公式について思うこと これだけ紹介しておけばもう十分だろうと思ってベクトル解析の公式集をのぞいてみると・・・. ここでk番目の成分 での微分を考えると、積の微分公式より となります。
ニューラルネットの合成関数微分に関しては、合っていないと感じるということです。 。 この手の計算に慣れている立場からすると、普通、こういう場合は、ベクトルや行列を添字を使った成分表記して計算を進めます。
13ベクトルをベクトルで微分したものを行列として定義するときの方法が一意でない• ベクトルの微分は各成分ごとに微分すればOKです。
ベクトル解析において，３つの微分作用素• テンソル計算していて気持ち良い瞬間です。
ベクトルはのは、積のと同じような形になります。 コメントを少しずつ入れておいてやれば ,意味も分からないままに我武者羅に丸暗記するなどという苦行をしないで済むのではなかろうか. 発端は、書籍の、リカレントニューラルネットワークの誤差逆伝播に関する式なのですが、最終結果も途中計算もおかしいと思い、計算し直したことです。 テンソル表記で微分を計算すると、合成関数微分の公式通りの計算をすれば良いだけであり、混乱は生じません。
19行列でいえば、対角行列に相当します。
で微分すれば、その係数 のみ残りますので、解はk番目の成分が のベクトル、つまり になります。
7 8 スカラーをベクトルで微分 スカラーを のベクトルで微分すると、同じ次数のベクトルになる。
11 これは便宜的に以下のように考えるとよい。
